Gedankenspiel Fraktale 4

Gedankenspiel Fraktale 4

Dialog mit Benoit Mandelbrots Geist
(Fortsetzung von Gedankenspiel Fraktale 3)

Sitzung 4
(Potenz von sich selbst: x hoch x, Naturkräfte zwischen Hierarchie-Ebenen, hierarchische Vernetzung, fraktale Hologramme)

BenoitM:
Mich erstaunt etwas die Idee, ein Fraktal mit Z hoch Z zu rechnen. Die ganzen Z hoch N plus C hatte ich ja schon begonnen. Deren fraktale Muster näherten sich dem Einheitskreis, das wurde eher unspektakulär. Aber Ihre Spinnen- und Schädelform ist ja wohl eine andere Nummer, wenngleich in der Rechnung halb gespiegelt potentiert, als konjugiert-komplexer Exponent, aber immerhin. Gibt es zur „Potenz mit sich selbst“ denn eine Vorgeschichte?

GabiM:
Ja, das war 1996, ich hatte meinen jetzigen Mann gerade kennengelernt und wir tauschten uns über unsere mathematischen Hobbies aus. Meine Verwunderung galt dem Extremwert in der x hoch x-Funktion bei 1/e. Sie hat genau dort ein Minimum. Wir stellten sie uns räumlich als Potentialmulde vor, wie es die Kernphysiker tun. Aber sie bauen sich etwas Theoretisches zusammen und skalieren es dann. Hier ist irgendwie schon alles da. Wir fragten uns: Warum ausgerechnet um das inverse e , denn x ist doch eine völlig beliebige Zahl? Und warum wird die Besonderheit dieser Funktion in der Schule nie erwähnt? Sie hat auch keinen Namen. Und wie rechnet man sie rückwärts, also um von einem gegeben A=x^x auf das ursprüngliche x zu kommen ?



BenoitM:
Das kann doch nur eine eindeutige Lösung sein. Aber was bedeutet sie anschaulich überhaupt? Gibt es Einsatzgebiete?

GabiM:
Die physikalische Bedeutung der x-hoch-x -Funktion sehe ich in der Beschreibung gleicher Muster auf mehreren Hierarchie-Ebenen, wobei die Anzahl der Ebenen zwingend mit dem Muster selbst zu tun hat. Wie ein besonderer Kabelbaum, etwa aus 3 inneren Drähten, die im Dreierpack verdrillt werden und dann diese dicken Kabel noch einmal im Dreierpack. Dann ist Schluss. Braucht man eine Ebene mehr, muss von vornherein mit 4 inneren Drähten begonnen werden, oder mit 5 wenn es 5 Ebenen werden sollen usw. .



BenoitM:
Vielleicht optimiert sich so die Seil-Qualität? Oder die Harmonie irgendwelcher Kräfte?

GabiM:
Vielleicht sogar die wichtigste von allen, die Lebenskraft? Heute schweben mir natürlich Wirbelströmungen vor. Und ich denke wegen dem Weltenwürfel an maximal sieben Hierarchien pro Welt. Der Anfang im Kleinen sind die sieben neuen Spirillen pro Umlauf in den Anu-Strömungen. Das ist nunmal die dichteste Packung, wenn es Kugeln wären, betrachtet man den Kreis mit Radius Eins und sein Sechseck mit Kantenlänge Eins. Seit Babbitt sind genau 7 Umläufe gesehen und gezeichnet worden, denn die siebente Umkreisung ist Teil des harmonischen Spiralen-Vorwärts-Triebes. Sie liegt quasi hinter der ersten Umkreisung oder angenommenen Kugelform, aber auch die fünf anderen sind schon spiralig in den dahinterliegenden Raum versetzt. Und es sollen ja sowieso alles Perlenschnüre aus letztlich kleinen Blasen sein.

BenoitM:
Das Sechseck ist nur die Projektion in Vortriebsrichtung der Spirale. Wären es weniger als sechs Subkreise in dieser Draufsicht, dann sind sie entweder nicht genug benachbart, also nicht maximal dicht, oder sie stoßen innen zusammen. Bei mehr als Sechs in der Draufsicht wird der leere Raum in der Mitte recht groß, das ist dann auch nicht die dichteste Kugelpackung. Also geometrisch alles völlig logisch.


Anu vom Nahen, daneben das rechtsdrehende Anu im Ganzen

GabiM:
So ist es. Zurück zu x hoch x. Sehr erstaunlich ist daran, dass die Eulersche Zahl e = 2.718281828.. nicht nur als Extremwert drinsteckt, sondern sogar an jeder Stelle als Limes für große x berechnet werden kann.

BenoitM:
Was? Mir ist das nicht bekannt.

GabiM:
Mein Mann Frithjof Müller hatte das im Herbst 1996 gefunden. Und auch nur deshalb, weil er nicht in den Denkrastern der Schulbildung gefangen war. Er hat kein Abitur, aber ein großes autodidaktisches Wissen. Zufällig damals noch keine Ahnung, wie man Anstiege an Kurven oder erste Ableitungen ausrechnet. Er hatte aber Programmiererfahrung und begann x^x numerisch zu untersuchen, anders als wir die Anstiegsberechnung gelernt haben. So lange, bis ihm auffiel, dass da etwas konstant bleibt, was sich als e entpuppte, denn die Eulersche Zahl e kannte er gut.

BenoitM:
Dann ist das Eulersche e=2,71828.. offenbar eine Untermenge bzw. Eigenschaft der in der Mathematik so stiefmütterlich behandelten x^x – Funktion! Wie war denn seine Rechnung nun genau?



GabiM:
Für x gegen Unendlich gilt:
(x^x) / ((x-1)^(x-1)) / (x-0.5) = e
e = 2.718281828.. Eulersche Zahl
x kann beliebig gebrochen sein, aber die Schrittweite 1 muss beibehalten werden. Also KEINE Infinitesimalrechnung, sondern zwei Funktionswerte mit x-Abstand 1. Nur e kommt umso genauer heraus, je größer x ist.

Wir fragten uns natürlich: Könnte es auch sein, dass das „fertige e = 2.71828..“ mitten im Potentialtopf, in der Nähe seines Bodens, noch gar nicht gültig ist? Dass es zwischen Null und Eins hin und her schwingt, oszilliert, vibriert und damit uns fremdes Verhalten anzeigt? Dass „dort“ nicht e als Basis der exp-Funktion zu verwenden ist, sondern e(x<1)= (x^x) / ((x-1)^(x-1)) / (x-0.5) , samt der Position des tanzenden 1/e-Minimums, das dann mitvibriert ? Wir gaben damals diese Fragen auf, um nicht den Verstand zu verlieren. Dabei ist es geblieben, jedenfalls von meiner Seite.

Mit einigen Umstellungen habe ich herausgefunden, dass die Formel auch bedeutet, den bekannten Limes (1+1/n)^n leicht abzuändern, nämlich in der Potenz nicht hoch n zu rechnen, sondern hoch n+0,5.
e = lim(n>>1) [(1+1/n)^(n+0,5)]. Die Konvergenz nimmt dadurch zu.

Das hatten wir versucht, bei Wikipedia unter Eulersche Zahl oder Exponentialfunktion einzutragen, was aber immer gelöscht wurde und schließlich kam die Mitteilung, dass vor einem oder mehreren Jahrhunderten ein Herr Keller die nach ihm benannte Keller-Formel aufgestellt hätte, die dasselbe Ergebnis beschreibt. Woanders als in dieser Mitteilung ist mir dieser Herr Keller und seine Formel bis heute nicht begegnet.


BenoitM:
Mir auch nicht. Der Wikipedia-Mathematiker muss wirklich gute Quellen haben. Aber es ist mir auch nicht begegnet als atemberaubende Eigenschaft von x hoch x, das hätte doch seit Keller die Runde machen müssen!
Zur zusätzlichen Potenz +0,5 im Limes für e : Mir ist bekannt, dass es analytische Rechenverfahren gibt, um jegliche Grenzwerte maximal anzupassen. Die Frage ist nur, ob es einen Nutzen bringt, wenn man sie später verwendet, denn sie verbessern zwar die Konvergenz, aber sie Verkomplizieren die Berechnungen auch.

GabiM:
Genau das kann ich inzwischen illustrieren. Hier ist ein Stück der Herleitung, die uns der Wikipedia-Nerd zuschickte, damit wir endlich Ruhe geben:


Ansonsten hier noch unsere hergeleitete iterative Umkehrfunktion für x aus A, auf die ich schließlich selber kam.
Newton-Verfahren: Schleife: x = (x + ln(A))/(1.0 + ln(x));

Im Script ist noch eine andere numerische Rechenvorschrift drin, die sich Frithjof gleich am Anfang gebastelt hatte (geht, aber konvergiert nicht so stabil), und wir hatten übrigens alles auch zweidimensional-Komplex programmiert.

BenoitM:
Die gewählte Wikipedia-Abteilung ist zu mathematik-lastig für die eigentliche Bedeutung, beginnend bei der Holografie- und Strömungs-Sichtweise. Das gehört woanders veröffentlicht. Wenn die Zeit reif ist.

GabiM:
Ich hatte es in einen unserer raum-und-zeit-Artikel mit eingebaut, mehr am Rande, doch es wurde nie beachtet, keine Rückfragen.




aktualisiert am 27.02.23 02:32